TUGAS SOFTSKILL MATEMATIKA DAN ILMU ALAMIAH DASAR (PERTEMUAN KETIGA)

NAMA : SARAH TASYA

KELAS : 1 PA 15

NPM    : 15517524

TUGAS TULISAN

1.HIMPUNAN DAN BILANGAN

1.1 Pengertian dan macam himpunan

Himpunan merupakan suatu konsep dasar di matematika.

Pengertian Himpunan

Secara intuitif himpunan adalah kumpulan objek yang mempunyai sifat tertentu, misalnya kumpulan bilangan asli kurang dari 10. kumpulan bilangan ternak berkaki 4, pulan mahasiswa pencinta alam dan sebagainya.

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang dapat didefinisikan dengan jelas (well defined).

Syarat tertentu dan jelas dalam menentuka himpunan itu menyebababkan kita dapat membedakan obyek yang merupakan anggota himpunan dan yang bukan anggota himpunan. Himpunan yang mempunyai syarat tertentu dan jelas sehingga kita dapat menentukan obyek mana yang menjadi anggota himpunan itu dan obyek mana yang bukan anggota himpunan itu disebut himpunan yang terdefinisi dengan baik (well defined).

Misalnya Kumpulan orang kaya kumpulan ini bukan suatu himpunan. Tetapi kumpulan orang yang kekayaannya melebihi satu trilyun rupiah adalah suatu himpunan.

Lainnya adalah :

– Kumpulan orang-orang yang berkepribadiannya menarik kelasku.

-Kumpulan mata kuliah penting pada semester ini. Kumpulan

-dosen-dosen terbaik di fakultasku.

Contoh :

Himpunan ilangan 1, 2, dan 3

1. Himpunan vokal a i, e, o, dan u
2. Himpunan penyelesaian persamaan x² – 2x-3=0
3. Himpunan negara-negara Asia Tenggara.
4. Himpunan manusia yang hidup di bumi

MACAM MACAM HIMPUNAN

1. Himpunan Semesta

Definisi : Himpunan Semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan. Himpunan Semesta dinyatakan dengan notasi S  atau U (S singkatan semest;a U singkatan dari universil.

contoh Semesta pembicaraan dari K {i, e, o} adalah S = {a,i,e,o,u}  himpunan huruf hidup dalam abjad latin, atau S ={abjad latin].

2.Himpunan berhingga (finit) dan himpunan tidak berhingga (infinit)

suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang tak berhingga. Secara intuitif, suatu himpunan dikata. kan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhirl. Himpunan yang tidak memenuhi syarat ini disebut himpunan infinit (proses membilang yang kita lakukan untuk menghi tung banyak anggota himpunan tersebut tidak akan berakhir).

Contoh :

1. Ditentukan himpunan H himpunan bilangan pada permukaan jam duabelasan. Maka H (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12) adalah himpunan finit, karena proses membilang kita akan berhenti.
2. himpunan bilangan asli genap merupakan himpunan infinit, karena jika kita membilang banyak anggota himpunan I=2, 4, 6, proses mebilang kita tidak akan pernah berhenti.
3. Himpunan J = himpunan pasir di gerobak adalah himpunan finit, karena proses membilang banyak anggota himpunan J, walaupun sukar, pada suatu saat akan berhenti.

3.Himpunan kosong

Definisi: Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong biasanya dinyata kan dengan notasi  atau { }

Contoh :

1. A adalah himpunan manusia di bumi yang berumur lebih dari satu abad. Sepanjang pengetahuan kita, tidak ada manusia di bumi yang berumur lebih dari satu abad. Oleh karena itu, A=
2. B = {x/x²=-1,x bilangan nyata}. Maka B={ }

4.Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan merupakan anggota himpunan dari B. Atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan AB

5.Himpunan sama

jiimpunan A dikatakan sama dengan himpunan   B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan sebaliknya setiap anggota B  merupakan anggota A.

6.Himpunan sama / ekuivalen

Himpunan Setara/Ekuivalen jika dan Himpunan A dikatakan setara ekuivalen dengan himpunan B, hanya jika banyaknya anggota kedua himpunan tersebut sama.

7. Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan Kuasa dari himpunan A ditulis dengan P(A) merupakan suatu himpunan yang elemennya terdiri dari semua himpunan bagian dari himpunan

8.Himpunan  Lepas

Himpunan A dikatakan himpunan lepas dengan himpunan B jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan

9.Himpunan Tak Lepas

Himpunan A dan himpunan B dikatakan berpotongan jika ada anggota persekutuan diantara kedua himpunan tersebut.

1.2 Diagram Venn

Untuk menggambarkan hubungan antara himpunan dapat digunakan diagram Venn. Himpunan dinyatakan dengan daerah kurva tertutup sedangkan semesta sebagai daerah empat persegi panjang dan anggota himpunan dinyatakan dengan noktah-noktah di dalamnya. Diagram Venn dipopulerkan oleh John Venn.

1.3 Operasi antar Himpunan

Pada himpunan terdapat operasi gabungan,irisan,selisih dan komplemen . dengan menggunakan operasi operasi ini dapat dibentuk himpunan baru dari himpunan himpunan yang diketahui.

1.Irisan

Irisan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B: A ∩ B={x|x E A dan x E B}

Dalam diagram venn:

2.Gabungan (union)

Gabungan himpunan A dan B ditulis A  B pada  adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A dan/atau menjadi anggota himpunan B.

3.Selisih(Difference)

4.Komplemen (complement)

Untuk menentukan komplemen dari suatu himpunan A,harus ditentukan terlebih dahulu himpunan semestanya.selisih himpunan A,yaitu S-A,disebut komplmen A,dinotasikan A’.

dalam diagram venn:

 

1.4 Bilangan bulat dan rill

Konsep bilangan bulat muncul akibat operasi pengurangan pada bilangan cacah.agar operasi pengurangan selalu diperoleh hasil,maka diadakan bilangan negative.bilangan tersebut merupakan lawan masing masing bilangan asli yang bersesuaian .misalnya :-1 invers dengan 1,-2 invers dengan 2 dan seterusnya.Gabungan himpunan bilangan cacah membentuk himpunan bilangan bulat Z={…,-2,-2,0,1,2,…}

Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional yang dapat mengukur panjang bersama-sama dengan negatifnya dan no membentuk himpunan bilangan real (nyata). R (xlx bilangan real). Jika digambarkan kedudukan himpunan-himpunan bilangan tersebut, maka dapat dilihat pada bagan berikut

2.Relasi

2.1 Pengertian Fungsi

Definisi: Suatu himpunan bagian f dari A x B (perkalian himpunan A dan B) disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A muncul hanya sebagai koordinat pertama pasangan terurut di f.

2.2 Domain,Kodomain,Range

Himpunan A disebut domain (daerah asal) dari fungsi f atau Dom (f) atau  dan disebut kodomain (daerah kawan) dari   atau Cod( atau Jika a  A maka anggota B yang menjadi pasangan a disebut image (bayangan) a oleh f dan dinyatakan anggota yang dengan b=f(a) (baca: f dari a). Sedang himpunan semua anggota B yang menjadi pasangan a disebut range (daerah hasil) fungsi f atau Ran(f)  atau f(A) Perhatian: Bedakan antara f(a) dengan f(A). Ingat bahwa range f, yaitu f(A) subset dari B atau f(A) B. Sedang perbedaan antara definisi fungsi yang digunakan dalam buku ini dengan definisi fungsi yang lebih lanjut terletak pada domain f Pada definisi di atas, D(f) = A, sedang pada definisi yang lebih lanjut,D(f)  X. suatu fungsi f dengan D(f) = X sering disebut terdefinisi pada X.

Contoh :

1. Misalkan f memasangkan setiap negara dengan bendera negara itu.
2. Apakah f suatu fungsi?
3. Tentukan fIndonesia).

Jawab :

1. Kita bentuk A (negara), B {bendera). Karena masing-masing lain hanya mempunyai satu bendera yang bukan bendera negara (tunggal) atau dengan kata lain setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B maka f adalah suatu fungsi
2. f(indonesia)= Sang Saka

3.Prosisi

3.1 Konsep dan Notasi dasar

Untuk penyederhanaan, dalam logika matematika suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil: p, q, r s,…. dan seterusnya dan digunakan notasi :  “untuk menyatakan apa yang dimaksud dengan lambang-lambang tersebut.

Kebenran suatu pernyataan dibedakan menjadi dua, yaitu:

Kebenaran factual yaitu kesesuaian  antara isi peryataan dan fakta sesungguhnya.

Misalkan :

p : hari ini hari jumat dan hujan

q : saya belajar matematika dasar

nilai kebenarannya sangat tentafif , tergantung pada keadaan disaat pernyataan ini diungkapkan

2. kebenaran logis,yaitu kesesuaian dengan aturan aturan logika

Misalkan:

Ada 7 hari dalam seminggu dan 2+2=4  Proposisi ini bernilai benar. disebut nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. suatu pernyataan yang benar diberi symbol dengan angka 1 atau B atau T (true) tersebut. Suatu pernyataan yang salah diberidengan simbol angka 0 atau s atau F (False). Dalam buku ini diguna simbol B untuk nilai benar dan simbol S nilai salah.

3.2 Proposisi dan table kebenaran

Misalkan kita mempunyai dua buah pernyataan p dan g. Dari kedua pernyataan tersebut dapat dibentuk proposisi baru dengan menggunaka kata-kata perangkai sebagai penghubung p dan q. perangkai ini sering juga disebut operasi.Pernyataan baru yang dibentuk tersebut dinamakan pernyataan majemuk. Perangkai pernyataan ada dua macam, yaitu uner dan biner.

Terdapat lima perangkai dasar untuk membentuk pernyataan majemuk yang terdiri dari satu perangkai uner dan empat perangkai biner, Ingkaran (negasi), Konjungsi (dan), Disiungsi (atau), Implikasi jika…maka…) dan Biimplikasi (ika an hanya jika) .

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh : nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan

Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari 2 pernyataan tunggal, dan untuk memudahkan penyelesaian nilai kebenaran suatu pernyataan, nilai kebenarannya disajikan dalam bentuk tabel kebenaran.

1.Ingkaran (negasi)

jika p: Bandung adalah ibukota Jawa barat, maka negasi atau ingkarn dari pernyataan tersebut adalah “Bandung bukan ibukota Jawa barat” atau tidak benar bahwa Bandung adalah ibukota Jawa Barat

Contoh lainnya adalah pernyataan q:semua bilangan prima adalah bilangan ganjl.maka negasi dari pernyataan tersebut adalah “tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah bilangan ganjil “ atau “ada bilangan bilangan prima yang tidak ganjil”

Dari contoh di atas pernyataan p bernilai benar sehingga ~p bernilai salah .sedangkan pernyataan q bernilai salah maka ~q bernilai benar

Misalkan p adalah suatu  Pernyataan, maka ingkaran p dilambangkan dengan ~p, (dibaca tidak p, adalah suatu pernyataan yang salah jika p benar dan pernyataan yang salah jika benar dan pernyataan yang benar jika p salah.

2.Konjungsi

Konjungsi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menggunakan kata “dan”.

Defiisi : misalkan p dan q adalah 2 buah pernyataan.pernyataan p dan q (konjungsi p dan q) dilambangkan dengan p q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan p dan q bernilai benar.

Definisi diatas disajikan dalam table kebenaran berikut ini :

Perhatikan bahwa agar p q bernilai benar dibutuhkan nilai benar bagi pernyataan p dan pernyataan q.

Catatan:

1. Dalam bahasa sehari-hari konjungs itidak hanya muncul dalam bentuk kata “dan”. Jika seseorang mengatakan hari ini hujan tetapi tidak ada petir maka ia memiliki dua buah gagasan dasar di benaknya, yaitu “hari ini hujan” dan “hari ini tidak ada petir”. Kita akan menilai bahwa pernyataannya benar hanya jika pada kenyatannya hari ini hujan dan hari ini memang tidak ada petir. Sehinggga penghubung ‘tetapi” dalam kalimat yang diucapkanya harus dipahami sebagai perangkai “dan”.
2. Penghubung penghubung lain dalam bahasa Indonesia yang bisa diartikan sebgai “dan” antara lain “walaupun” , “meskipun “sedangkan “namun”.hal yang harus diperhatikan adalah kalimat yang diucapkan hanya akan bernilai benar jika seluruh pernyataan penyusunannya benar

3.Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perangkai “atau”

Definisi :misalkan p dan 1 adala 2 buah pernyataan .pernyataan p atau q dilambangkan deng pˇq bernilai benar hanya jika sekurang kurangnya satu pernyataan pernyusunannya bernilai benar.

4.Implikasi

Dipakai untuk menyatakan suatu syarat

5.Biimplikasi

Biimplikasi merupakan kalimat majemuk yang terbentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menggunakan kata “jika dan hanya jika”

3.3 Tautologi dan Kontradiksi

1.Tautologi

Tautologi adalah suatu bentuk kalimat majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap penggantian dengan sebarang per pernyataannya  (kolom terakhir dari Tabel Kebenarannya berisi nilai ‘B’ semua) contoh pernyataan yang tautologi berikut ini.

Contoh 1.11: Tunjukkan bahwa pernyataan: Ahmad lulus ujian atau tidak lulus ujian adalah tautology

Jika p: Ahmad lulus ujian, maka negasinya adalah

~ p: Ahmad tidak lulus ujian

Maka pernyataan p v p: Ahmad lulus ujian atau tidak lulus ujian. tersebut di pasti selalu bernilai benar, karena seseorang ikut ujian pasti 2 kemungkinan yaitu lulus atau tidak lulus. Nilai kebenarannya dapat dilihat pada tabel berikut:

2.Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk setiap perngantian peubahnya dengan sebarang pernyataan disebut (kolom terakhir dari Tabel Kebenarannya berisi nilai ‘S’ semua)

Perhatikan contoh kontradiksi berikut ini

Contoh 1.12: Pernyataan: Ahmad lulus ujian dan tidak lulus ujian Tunjukkan bahwa pernyataan di atas adalah salah

Jika p : Ahmad lulus ujian, maka negasinya adalah

~p: Ahmad tidak lulus ujian

Maka tunjukkan bahwa p ˄ ~ p adalah kontradiksi.

Kalimat “Ahmad lulus ujian dan tidak lulus ujian” tidak mungkin terjadi, karena seseorang ikut ujian ada 2 kemungkinan yaitu lulus pasti atau tidak lulus, jadi tidak mungkin terjadi sekaligus keadaan keduanya, lulus tapi tidak lulus. Nilai kebenaran pernyataan tersebut pasti salah Nilai kebenarannya dapat dilihat pada tabel berikut:

3.4 Ekivalen logika

Dua buah proposisi majemuk P (p,q,…) dan Q (p,q,…) disebut ekivalen  secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang identic.

Contoh :

• Misalkan p menyatakan “Ibunya adalah orang Inggris” dan q adalah “Bapaknya adalah orang Perancis”, maka pernyataannya adalah ~(p v q). Tetapi ~(p v q) = ~p sehingga pernyataan itu secara logika ekivalen terhadap pernyataan “Ibunya bukan orang Inggris dan Bapaknya bukan orang Perancis”.
• Misalkan p menyatakan “la belajar ilmu fisika” dan q menyatakan “la belajar matematika”, maka pernyataannya adalah~ (p ˄ ~ q). Akan tetapi ~(p ˄ ~q)= ~p V ~ ~ q= ~ p v q, sehingga pernyataan itu secara logika ekivalen terhadap pemyataan “la tidak belajar ilmu fisika atau ia belajar matematika”.

3.5 ALJABAR PROPOSISI
Dalil dalil di bawah ini hubungan kesamaan logika mengikuti hukum hukum identitas identitas yang ada dibawah ini :

Hukum hukum aljabar proposisi :

keterangan : T dan f masing masing menyatakan variabel variabel yang benar dan salah.

3.6 Implikasi Logik

implikasi merupakan kalimay majemuk yang terbenuk dari dua pernyataan dengan menggunakan perangkai “jika…. maka”

perhatikan contoh pernyataan :

jika badu lulus , maka budi akan membeli sepeda

 

Fakta 1: Budi lulus ujian dan Budi membeli sepeda

Fakta 2: Budi lulus ujian, tetapi Budi tidak membeli sepeda

Fakta 3: Budi tidak lulus ujian tetapi Budi membeli sepeda

Fakta 4: Budi tidak lulus ujian dan Budi tidak membeli sepeda

Jika fakta 1 yang terjadi, maka pernyataan di atas bernilai benar sedangkan jika fakta 2 yang terjadi maka pernyataan di atas bernilai salah, karena keadaan Budi lulus ujian menjadi syarat untuk terjadinya Budi membeli sepeda. Jika fakta 3 dan fakta 4 yang terjadi, maka pernyataan di atas bernilai benar, karena keadaan Budi membeli sepeda atau tidak mem- beli sepeda tidak menjadi akibat karena tidak lulus ujian.

definisi : pernyataan majemuk bersyarat p maka q disebut pernyataan bersyarat ,dilambangkan sebagai p -> q bernilai salah hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.

3.7 Fungsi Proposisi dan himpunan kebenaran

Predikat adalah fungsi proposisi (berhubungan dengan satu atau lebih variabel). Sebagaimana telah dibahas sebelumnya, proposisi adalah statemen yang mem nilai kebenaran benarsalah. Bagaimana dengan predikat yang bertindak sebagai fungsi proposisi? Agar lebih dapat memahami hal ini, perhatikan hal-hal berikut:

1. Statemen “P x adalah bilangan genap Apakah P sebagai proposisi? P bukanlah proposisi, mengingat nilai kebenarannya tidak belum jelas (bisa benar atau salah), Dalam hal ini nilai kebenaran P tergantung pada nilai x. Jika x bernilai 5, maka P bernilai salah: dan jika P bernilai 4. maka P bernilai benar.

2. Pandang P(x) merupakan sebuah statemen yang melibatkan variabel x dan sebuah himpunan D (semesta pembicaraan dari P). P dalam hal ini sebagai sebuah fungsi proposisi (atau predika) jika setiap x dalam D. P(x) adalah sebuah proposisi.

3. Statemen-statemen bervariabel tersebut disebut fungsi proposisi predikat

4. Umumnya statemen statemen dalam bidang matematika dan komputer menggunakan variabel.

contoh :

andaikan P statemen “x > 10”, dan D = himpunan bilangan gassal. Tentukan nilai kebenaran dari P(-5), P(2) dan P(15)!

Jawab:

P(x)sebagai fungsi proposisi dengan D himpunan bilangan gasal.

P(x)adalah sebuah proposisi untuk setiap nilai x dalam D

P(x)bisa bermilai benar salah.

P(15) = 15 > 10 :benar

P(-5) = -5 > 10 : salah

P(5) = 5 > 0 salah

Variabel predikat dikuantifikasi oleh kuantor.Terdapat dua tipe kuantor, yaitu: kuantor semesta (universal guantifier), dan kuantor eksistensial (existential  =quantifier)

Daftar Pustaka 

Afidah, khairunnisa. 2014. Matematika dasar. Jakarta: PT Rajagrafindo Persada

Rasyad, Rasidhan. Logika aljabar. 2003. PT Gramedia Widisarana Indonesia: Jakarta

Muhammad Rusli,I Ketut Putu Suniantara,Anggun Nugroho. Logika & Matematika. 2018. Penerbit Andi : Yogyakarta